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Definición Lógica difusa

La lógica difusa es la extensión de la Lógica Multivaluada que está relacionada y fundamentada en la teoría de Conjuntos Difusos, según esta teoría el grado de pertenencia de un elemento a un conjunto va a estar determinado por una función de pertenencia, que puede tomar todos los valores reales comprendidos en el intervalo [0,1].

Introducción histórica

Aristóteles consideraba que existían ciertos grados de veracidad y falsedad. Platón había considerado grados de pertenencia.
En el siglo XVIII el filósofo y obispo anglicano Irlandés, George Berkeley y David Hume describieron que el núcleo de un concepto atrae conceptos similares. Hume creía en la lógica del sentido común, éste es el razonamiento basado en el conocimiento que se adquiere en forma ordinaria
El filósofo y matemático británico Bertrand Russell, a principios del siglo XX. estudió las vaguedades del lenguaje, concluyendo con precisión que la vaguedad es un grado
El filosofo austríaco Ludwing Wittgenstein estudió las formas en las que una palabra puede ser empleada para muchas cosas que tienen algo en común
La primera lógica de vaguedades fue desarrollada en 1920 por el filósofo Jan Lukasiewicz. Visualizó los conjuntos con un posible grado de pertenencia con valores de 0 y 1
El filósofo cuántico Max Black define en 1937 el primer conjunto difuso mediante una curva que recogía la frecuencia con la que se pasaba de un estado a su opuesto, su idea pasó totalmente inadvertida dado que iba en contra del empirismo lógico que para entonces primaba entre los filósofos de la ciencia
En los años sesentas Lofti Zadeh, basado en las ideas de Black, ¿descubrió o creó? la lógica difusa, que combina los conceptos de la lógica y de los conjuntos de Lukasiewicz mediante la definición de grados de pertenencia.

Conjuntos clásicos y Conjuntos difusos

Definición de conjuntos clásicos según Cantor
“...Entendemos por conjunto cualquier reunión en un todo M de determinados objetos bien distinguidos m de nuestra intuición o pensamiento...”
Esto significa que la existencia del conjunto depende de la determinación precisa de cuales elementos pertenecen y cuales no a dicho conjunto (Dedekind)
En los conjuntos difusos la pertenencia de un elemento a un conjunto no es tan drástica. El elemento puede tener un grado de membresía a dicho conjunto
Los conjuntos clásicos se pueden representar de 3 formas

1) Nombrando los elementos del conjunto

A={a,e,i,o,u}

2) Definiendo una expresión que los miembros cumplan

A={x| x es una letra vocal}

3)Definido por una función característica

Esta función mapea los elementos del conjunto universo a los elementos del conjunto {0,1}.

Para cada funcCaracteristica=1 entonces x es miembro de A

En los conjuntos difusos la función característica mapea los elementos al intervalo real [0,1]

Formalmente

Sea X conjunto universo clásico tal que x sean sus elementos, esto es . Un conjunto difuso A lo definimos mediante

A = { ( x, A (x) ) | x Î X }

Donde

A(x): Función de membresía

Ejemplos:

A: Conjunto de los hombres jóvenes

B: Conjunto de los hombres de edad media

C: Conjuntos de los hombres viejos

Cada uno de los conjuntos no posee límites claros y se pueden representar mediante conjuntos difusos.

Los conjuntos difusos son una forma de representar imprecisión e incertidumbre

Las funciones de pertenencia podrían ser:

Tipos de funciones de membresía

En general se puede utilizar cualquier función continua que mapee los de un conjunto universo clásico dado a elementos al intervalo [0,1], las más comunes son:

Sigmoide

Diferencia entre 2 sigmoides

Función Gaussiana

Curvas basadas en Splines

Función triangular

¿Cómo elegir la función de membresía?

Hay varias formas, el método a elegir depende de la aplicación en particular

El método más sencillo es el Horizontal

Se basa en las respuestas de N expertos
La pregunta tiene el siguiente formato

¿Puede ser x considerado compatible con el concepto A?

Sólo se acepta un “si” o “no” por respuesta, Luego

A(x)=(Respuestas afirmativas)/N

Otros Métodos

Vertical
Método de comparación de parejas (Saaty,1980)
Métodos basados en la especificación del problema
Métodos basados en la optimización de parámetros
Métodos basados en la Agrupación difusa (fuzzy clustering)
Algoritmo “Fuzzy Isodata” (Bezdek,1981)

Operaciones básicas sobre conjuntos difusos

Las operaciones básicas en los conjuntos clásicos son 3

Unión

Ej: A={a,e,i,o,u}

B={b,c,d}

AUB={a,e,i,o,u,b,c,d}

Intersección

Ej A={1,2,3}

B={2,3,4,5}

A ∩ B ={2,3}

Complemento

A={1,2,3}

Comp(A)={4}

La extensión natural para las operaciones está dada por

Unión difusa standard

(A υB)(x)=max(A(x), B(x))

Intersección difusa standard

(A ∩ B)(x) = min(A(x), B(x))

Complemento difuso standard

Comp(A)(x)= 1 – A(x)

Aplicación sencilla

Supongamos que una persona cualquiera desea ir a tomar una cerveza a un local tradicional, que la cerveza sea barata y que el local quede cerca de su casa

El dispone de 4 lugares conocidos

Tiene sed

Aquí podemos distinguir tres conjuntos difusos

1) Cerveza barata

2) Local tradicional

3) Cercanía a su hogar

Para él :

Una cerveza barata es una que cueste alrededor de Q. 8.00 o menos

Un local tradicional es un local que al menos tenga 5 años funcionando.

Que quede cerca de su casa es que no quede a más de 10 cuadras

Según las preferencias del individuo se pueden construir los siguientes conjuntos difusos

Características de los locales

Debido al planteamiento debemos intersectar los conjuntos

La solución clásica impone que

Precio cerveza<=Q8.00

Años de servicio>=5 años

Cuadras<=10 cuadras

Como se deben intersectar los conjuntos, según la solución clásica el local debe estar a lo mas a 10 cuadras, tener a lo menos 5 años de servicio y que la cerveza cueste a lo más Q8.00

SOLUCIÓN